# 共轭先验

> 在贝叶斯统计中，如果后验分布与先验分布属于同类，则先验分布与后验分布被称为共轭分布，而先验分布被称为似然函数的共轭先验（Conjugate prior）。比如，高斯分布家族在高斯似然函数下与其自身共轭（自共轭）。这个概念，以及「共轭先验」这个说法，由霍华德·拉法拉和罗伯特·施莱弗尔在他们关于贝叶斯决策理论的工作中提出。类似的概念也曾由乔治·阿尔弗雷德·巴纳德独立提出。具体地说，就是给定贝叶斯公式p(θ|x) = p(x|θ)·p(θ)/p(x)，当先验p(θ)与似然p(x|θ)相乘后，所得的后验分布p(θ|x)与先验分布属于同一分布族时，该先验即为共轭先验。

- ID: m07741
- 分类: technical
- 领域: 数学

## 定义

当先验分布与似然函数相乘后，后验分布与先验分布属于同一分布族时，称该先验为共轭先验。脚手架作用：计算简化。使贝叶斯更新过程保持数学上的可处理性，避免复杂积分。

## 机制

若先验分布与似然函数相乘后，后验分布与先验同属一个分布族，则称该先验为共轭先验。共轭性使贝叶斯更新只需更新分布参数，避免对复杂积分的数值求解。

## 练习

1）选定似然（如二项分布）；2）选取共轭先验族（如 Beta 对二项）；3）用观测数据更新先验超参数得到后验；4）以后验为新的先验持续迭代。

## 脚手架用法

计算简化。使贝叶斯更新过程保持数学上的可处理性，避免复杂积分。

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