# 圣彼得堡悖论

> 一个掷硬币赌局，期望收益是无穷大，但理性人却只愿意花很少的钱（如20元）去玩它。

- ID: m04037
- 分类: decide
- 领域: 决策科学

## 定义

一个掷硬币赌局，期望收益是无穷大，但理性人却只愿意花很少的钱（如20元）去玩它。脚手架作用：边际效用递减。它证明了"期望值"不能作为决策的唯一依据。对于只有一次生命的个体来说，巨大的潜在收益（无穷大）如果伴随着极高的归零风险，是没有意义的。我们追求的是"效用"而非"金额"。

## 机制

该悖论由丹尼尔·伯努利于1738年提出：赌局为连续掷硬币直到首次出现正面，若第n次才首次出现正面则赔付2^n元。其数学期望为Σ(1/2ⁿ·2ⁿ)=∞，但人们只愿付极少入场费。根源在于边际效用递减——单位财富带来的满足随财富增加而下降，理性人应按"期望效用"而非"期望金额"决策，使得无穷期望被对数效用压扁为有限值。

## 练习

1) 列出所有可能结果及其概率与货币收益；2) 选取效用函数（常取对数）将收益换算为效用；3) 计算期望效用以与参与成本比较；4) 仅当期望效用大于成本时才参与，避免被"无穷大期望"误导。

## 脚手架用法

边际效用递减。它证明了"期望值"不能作为决策的唯一依据。对于只有一次生命的个体来说，巨大的潜在收益（无穷大）如果伴随着极高的归零风险，是没有意义的。我们追求的是"效用"而非"金额"。

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